DESKRIPSI
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak terjadi peristiwa-peristiwa yang berhubungan dengan pengetahuan yang bermanfaat. Namun hal tersebut tidak kita sadari bagaimana cara mengembangkan peristiwa-peristiwa yang bermanfaat bagi kehidupan kita. Salah satu dari ilmu pengetahuan tersebut adalah ilmu fisiska, dimana ilmu fisika tersebut sangat bermanfaat bagi kehidupan kita sehari-hari dalam melakukan suatu aktivitas, contoh ilmu fisika yang mempunyai hubungan yang sangat erat dengan usaha manusia untuk mempelajari gejala alam. Setelah gejala alam diketahui, maka dipikirkan bagaimana cara pemanfaatannya di dunia nyata atau kehidupan sehari-hari , kajian ilmu fisika sangat sering muncul dalam terjadinya suatu peristiwa, misalnya sebuah mobil yang melakukan pengereman dan lain-lain, memindahkan sebuah barang/benda ketempat lain. Peristiwa-peristiwa ini tentunya menimbulkan banyak pertanyaan bagi kita jika kita kaitkan dengan ilmu fisika.
Disini kita akan membahas bagaimana caranya kita menerapkan pertanyaan-pertanyaan yang ada dipkiran kita dengan mempelajari materi-materi fisika. Dalam makalah ini kami akan menjelaskan tentang definisi besaran vektor , dan melakukan penjumlahan dan perkalian vektor. Jika dilihat dari nilai dan arahnya, besaran dibedaka menjadi 2, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai tanpa memiliki arah. Contoh dari besaran skalar adalah massa, waktu, panjang dan masih banyak lagi. Sedangkan besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Untuk lebih menambah pemahaman kita tentang analisis dimensi maupun besaran vektor dan besaran skalar, dalam makalah ini penulis akan menjelaskan, besaran vektor dan besaran skalar lebih lanjut. Kajian-kajian yang dijelaskan diantaranya pengertian skalar dan vektor, operasi vektor, resultan vektor dengan metode jajar genjang, resultan vektor dengan metode poligon, resultan vektor dengan metode analisis. Selain dari semua itu, kami juga akan menjelaskan tentang perkalian titik (dot), perkalian silang (cross) dan sifat-sifatnya
Kompetensi Dasar
Memahami pengertian vektor dan mampu melakukan operasi vektor

Indikator
Memahami pengertian besaran vektor.
Menyatakan atau menggambarkan vektor dengan  diagram  vektor
Menyatakan atau menggambarkan vektor dengan  notasi huruf
Menyatakan atau menggambarkan vektor dengan  notasi analitis
Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode jajaran genjang.
Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode poligon.
Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode analitis.
Mengetahui pengaplikasian vektor dalam kehidupan sehari-hari.
Melakukan perkalian vektor DOT dan CROSS





 
MATERI
Pengertian
Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Besaran ini selain dipengaruhi nilainya juga akan dipengaruhi oleh arahnya. Contohbesaran ini adalah perpindahan. Ali berpindah 2 meter. Pernyataan ini kurang lengkap, yang lebih lengkap adalah Ali berpindah 2 meter ke kanan. Nilai perpindahannya 2 meter dan arahnya ke kanan. Contoh besaran vektor, antara lain, perpindahan, kecepatan, percepatan, momentum, dan gaya. Untuk menyatakan besaran vektor, harus menggunakan nilai (angka) dan disebutkan arahnya. Misalnya, Nisa berlari ke utara dengan kecepatan 5 km/jam dan Robert menggeser almari sejauh 3 meter ke barat.
Besaran skalar adalah besaran yang memiliki nilaisaja. Contoh besaran skalar adalah massa. Perlukah kalian menimbang massa benda untuk mencari arah massa itu? Tentu tidak. Menimbang massa hanya dihasilkan nilai saja misalnya massa kalian 60 kg, berarti nilai massa itu 60 kg dan tidak memiliki arah. Contoh besaran skalar, antara lain, massa, panjang,waktu, volume, energi, dan muatan listrik. Anda dapat menyatakanbesaran skalar hanya dengan menyatakan nilainya saja. Misalnya, massaAcong 35 kg, panjang pensil 20 cm, dan volume bak mandi 1.000 liter.Besaran skalar selalu bernilai positif. Contoh besaran skalar yang lain adalah jarak, waktu, volume dan energi.

Penulisan dan Penggambaran Vektor
Menyatakan atau menggambarkan vektor ada 3 cara, yaitu dengan  diagram vektor,  notasi huruf dan notasi analitis.
Cara pertama yaitu dengan diagram vektor, vektor dapat digambarkan dengan anak panah.





Besar dan arah vektor dapat kita lihat atau dapat digambarkan melalui diagram vektor. Misalkan diagram vektor di atas, kita dapat melihat besar dan arah vektor A dan B, panjang dari anak panah dapat kita lihat sebagai besar atau nilai vektornya misalnya panjang anak panahnya 1 meter, sedangkan arah dari vektor tersebut dapat kita lihat dari arah kepala anak panah pada diagram vektor.
2. Cara yang kedua adalah dengan notasi huruf. Ada beberapa aturan dalam penulisan vektor menggunakan huruf. Vektor dapat ditulis dengan huruf kapital yang dicetak tebal, huruf kecil yang dicetak tebal, dan dalam penulisan sehari-hari biasanya ditulis dengan menambahkan anak panah di atas huruf yang menyatakan vektor. Sebagai contohnya  vektor AB, dapat ditulis AB, ab, ataupun  (AB) ⃑ dan   . Vector AB memiliki arti atau dapat diartikan bahwa arah vektornya dari vektor A ke vektor B.
3. Cara yang ketiga adalah dengan notasi analitis. Notasi ini digunakan untuk menganalisa vektor tanpa menggunakan gambar atau diagram. Contoh : vektor a dapat dinyatakan dalam komponen – komponen sebagai berikut :









Lebihmudah jika menyatakan vektor menggunakan vektor satuan dalam arah sepanjang sumbu – sumbu koordinat yang dipilih. Dalam koordinat siku – siku biasanya digunakan lambang khusus i, j dan k untuk menyatakan vektor satuan dalam arah sumbu x, y dan z positif berturut – turut.

Ada beberapa catatan yang perlu diperhatikan, antara lain :
Dua vektor dikatakan sama jika arah dan besarnya sama



Jika vektor dinyatakan  seperti gambar di atas, maka dapat dikatakan
A = B

Dua vektor dikatakan tidak sama jika :
Dua vektor besarnya sama tetapi arahnya berbeda





b.   Dua vektor yang besarnya tidak sama tetapi memiliki arah yang sama
 


c.   Dua vektor yang besar dan arahya berbeda
 




Operasi Vektor
Dalam vektor, ada beberapa operasi-operasi atau cara-cara yang dapat digunakan dalam menentukan nilai dari sebuah vektor, diantaranya adalah sebagai berikut :
Operasi Penjumlahan dan pengurangan





Diberikan 2 buah vektor seperti pada gambar. Tentukan hasil A + B= ?
Dalam penjumlahan vektor tanda “+” dalam penjumlahan vektor memilki artidilanjutkan, jadi jika A + B berarti vektor A dilanjutkan oleh vektor Bseperti pada gambar dibawah kita dapat lihat bahwa vector A diteruskan oleh vektor B sehingga hasilnya adalah garis panjang yang berwarna  merah.






Untuk pengurangan vektor  tanda “-“berarti berlawanan arahmisalnya vektor A-B, dapat kita kurangi atau hitung seperti pada gambar dibawah ini.






Resultan vektor dan metode mencari resultan
Resultan merupakan hasil penjumlahan dari beberapa vektor. Dalam menentukan resultan dari suatu vector dapat menggunakan beberapa cara atau metode antara lain metode jajar genjang, metode segi banyak atau poligon dan metode analitik.
Metode Segitiga
Untuk mengetahui jumlah dua buah vektor Anda dapat menggunakan
metode segitiga. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
Lukislah vektor pertama sesuai dengan nilai dan arahnya, misalnya A!
Lukislah vektor kedua, misalnya B, sesuai nilai dan arahnya dengan titik tangkapnya berimpit pada ujung vektor pertama!
Hubungkan titik tangkap vektor pertama (A) dengan ujung vektorkedua (B)!

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut!
           
Selisih dua buah vektor dapat diketahui dengan cara sepertipenjumlahan vektor. Misalnya, selisih dua buah vektor A dan B adalahC,juga dapat dinyatakan C = A – B atau C = A + (-B). Hal ini menunjukanbahwa selisih antara vektor A dan B adalah hasil penjumlahan vektor Adan -B, dengan -B adalah vektor yang berlawanan arah dengan B tetapinilainya sama dengan B. Perhatikan gambar berikut!



Metode Jajargenjang
Anda dapat memperoleh resultan dua buah vektor dengan metodejajargenjang. Pada metode jajargenjang terdapat beberapa langkah, yaitusebagai berikut.
Lukis vektor pertama dan vektor kedua dengan titik pangkal berimpit (Gambar 1.10(a))!
Lukis sebuah jajargenjang dengan kedua vektor tersebut sebagai sisisisinya (Gambar 1.10(b))!
Resultan kedua vektor adalah diagonal jajargenjang yang titik pangkalnya sama dengan titik pangkal kedua vektor. Perhatikan (Gambar 1.10(c))!

Pada metode jajargenjang, satu kali lukisan hanya dapat digunakanuntuk mencari resultan dua buah vektor. Untuk resultan yang terdiri atastiga buah vektor diperlukan dua jajargenjang, empat buah vektor diperlukantiga jajargenjang, dan seterusnya.

Metode Poligon
Metode poligon dapat digunakan untuk menjumlahkan dua buah vektor atau lebih, metode ini merupakan pengembangan dari metode segitiga. Langkah langkah menentukan resultan beberapa vektor dengan metode poligon adalah sebagai berikut.
Lukis vektor pertama (lihat Gambar 1.11(a))!
Lukis vektor kedua, dengan pangkalnya berimpit di ujung vektor pertama(lihat Gambar 1.11(b))!
Lukis vektor ketiga, dengan pangkalnya berimpit di ujung vektor kedua
dan seterusnya hingga semua vektor yang akan dicari resultannyatelah dilukis (lihat Gambar 1.11(c))!
Vektor resultan atau vektor hasil penjumlahannya diperoleh denganmenghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung dari vektor yangterakhir dilukis (lihat Gambar 1.11(d))!


Metode Analisis
Metode yang paling baik (tepat) untuk menentukan resultan beberapa vektor dan arahnya adalah metode analisis. Metode ini, mencari resultan dengan cara perhitungan bukan pengukuran, yaitu menggunakan rumus kosinus dan mencari arah vektor resultan dengan menggunakan rumus sinus.
Menentukan Resultan Vektor Menggunakan Rumus KosinusUntuk menentukan vektor resultan secara matematis dapat Andagunakan rumus kosinus, yaitu sebagai berikut.





Keterangan:
R : resultan vektor
F1 : vektor pertama
F1 : vektor kedua
α : sudut apit antara kedua vektor

Contoh :
Diketahui dua buah vektor, masing-masing besarnya 8 N dan 6 N.Tentukan nilai resultan kedua vektor tersebut, jika titik pangkalnyaberimpit dan membentuk sudut 60º!
Diketahui :
F1 = 8 N
F2 = 6 N
α= 60°
Ditanyakan : R = ...?




b). Menentukan Arah Resultan Vektor Menggunakan RumusSinus
Anda ketahui bahwa vektor merupakan besaran yang mempunyai nilaidan arah. Untuk menentukan arah dari vektor resultan terhadap salah satuvektor komponennya dapat digunakan persamaan sinus.
Perhatikan Gambar 1.12!
Diketahui dua buah vektor, F1 dan F2 membentuk sudut α . Sudutantara vektor resultan (R) dengan vektor F1 adalah β , sedangkan sudutantara resultan (R) dan vektor F2 adalahα - β . Secara matematispersamaan ini dapat ditulis sebagai berikut.

Contoh :
Diketahui dua buah vektor masing-masing panjangnya 8 cm dan 6 cm.Jika kedua vektor berimpit dan saling tegak lurus, maka tentukanarah resultan vektor tersebut terhadap kedua vektor tersebut!
Diketahui :
F1 = 8 cm
F2 = 6 cm
α= 90° (tegak lurus)
Ditanyakan :
a. β= ...?
b. (α - β) = ...?

Jawab :
Anda cari terlebih dahulu resultan kedua vektor.




Arah vektor resultan (R) terhadap vektor F1.


Arah resultan vektor (R) terhadap vektor F1.
                                     

Operasi perkalian
Operasi perkalian vektor ada 2 jenis, yaitu perkalian skalar dengan vektor dan perkalian vektor dengan vektor. Perkalian vektor dengan vektor terdiri dari perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product).



DOT PRODUCT
Perkalian titik dari dua buah vector A dan B dituliskan sebagai A • B ( dibaca A titik B). Perkalian titik A • B didefinisikan sebagai suatu scalar yang sama dengan hasil kali dari besar kedua vector dengan kosinus sudut apitnya. Sesuai definisinya maka
A • B=A B cos θ
dan
A • B = B • A
  Beberapa hal penting dalam perkalian titik
Selain hokum komutatif, perkalian titik juga memenuhi hokum distribusi
A • (B + C) = A • B + A • C
Jika kedua vector A dan B saling tegak lurus, sudut apit θ = 900, sedangkan   cos θ, maka A • B=AB cos θ  = 0
Jika kedua vector A dan B searah, yaitu θ = 00, sedangkan cos θ = 1, maka
A • B=AB
Jika B = A maka diperoleh A • B=A2 atau  B •B  = B2
Jika kedua vector A dan B berlawanan arah, yaitu θ =1800, sedangkan cos 1800 = -1, maka
              A • B= – AB
Penggunaan perkalian titik dalam fisika, contohnya usaha, fluks listrik, fluks magnetic.
CROSS PRODUCT
Perkalian silang dari dua buah vector A dan B dituliskan sebagai A x B ( dibaca A cross B ). Perkalian silang A x B didefinisikan sebagai suatu vector yang tegak lurus pada bidang di mana A dan B berada, dan besarnya sama dengan hasil kali dari besar kedua vector dengan sinus sudut apitnya. Jadi,
Jika     C = A x B
Maka  C = AB sin θ
Beberapa hal penting dalam perkalian silang
Nilai 00 ≤ θ ≥ 1800, sedangkan nilai sin θ pasti positif, maka nilai C dalam C = A x B sin θ selalu positif.
Perkalian silang bersifat anti komutatif
A x B = – B x A
Jika vector A dan B saling tegak lurus yaitu sudut apit θ=900 sedangkan sin 900 = 1, maka
|A x B|= A B
Jika vector A dan B segaris kerja, dapat searah (θ = 00) atau berlawanan arah (θ = 1800), sedangkan sin 00 = sin 1800 = 0 maka
A x B = 0
Penerapan perkalian silang dalam fisika pada momen didefinisikan sebagai perkalian silang antara vector posisi r dan vector gaya F, (= r x F ), gaya lorentz pada muata yang bergerak ( F = q v x B)





SOAL – SOAL
1.  Dua buah vektor gaya F1 dan F2 masing-masing sebesar 3 N dan 5 N    mengapit sudut 60° dan bertitik tangkap sama. Jumlah kedua vektor gaya tersebut adalah … .
a. 7 N d. 10 N
b. 8 N e. 12 N
c. 9 N
2. Dua vektor gaya F1 dan F2 masing-masing sebesar 3 N dan 8 N  bertitik tangkap sama, ternyata membentuk resultan gaya yang besarnya 7 N. Sudut apit antara kedua vektor gaya tersebut adalah … .
a. 30° d. 90°
b. 45° e. 120°
c. 60°
3. Perhatikan diagram vektor berikut ini!
                   
Yang menyatakan adanya hubungan x = y - z adalah gambar … .
a. (1) d. (4)
b. (2) e. (5)
c. (3)
4. Komponen-komponen vektor pada sumbu X dan Y dari vektor P adalah 4
m dan 6 m. Komponen-komponen vektor pada sumbu X dan Y dari vektor(P + Q) adalah 0 dan 9 m. Panjang vektor Q adalah ….
a. 10 m d. 5 m
b. 9 m e. 4 m
c. 6 m
5. Dua vektor P dan Q besarnya 40 dan 20 satuan. Jika sudut antara kedua     vektor tersebut sebesar 60°, maka besar dari P – Q adalah ....
a. 20 b. 20 c. 30
d. 40 e. 60
Sebuah gaya F = (2i + 3j) N melakukan usaha dengan titik tangkapnya berpindah menurut r = (4i + aj) m dan vektor i dan j berturut-turut adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu x dan sumbu y pada koordinat kartesian. Bila usaha itu bernilai 26 J, maka nilai a sama dengan...
a. 5 b. 6
c. 7 d. 8
e. 12
Dua buah vektor gaya F1 dan F2 masing-masing besarnya 5 N dan 12 N, bertitik tangkap sama dan saling mengapit sudut 60°, nilai resultan dari kedua vektor tersebut …
10 b.20
30 d. 25
50
Diberikan dua buah vektor masing-masing vektor dan besarnya adalah A = 8 satuan,   B = 10 satuan. Kedua vektor ini membentuk sudut 37°. Tentukan hasil dari: A × B
a. 64 b. 54
c. 48 d. 24
e. 74
9. Perhatikan gambar gaya-gaya di bawah ini!


Besar resultan ketiga gaya tersebut adalah....
  a. 2,0 N                   b. 2 √3 N        
c. 3,0 N             d. 3 √3 N
e. 4√3 N

10.  v1 = 5 dan v2 = 12 saling tegak lurus dan mengapit sudut 90o. Tentukan resultan kedua vektor menggunakan rumus cosinus!
a. 13 b. 20
c. 10 d. 15
e. 12

 

RANGKUMAN

Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah, antara lain, perpindahan, kecepatan, percepatan, momentum, dan gaya.
Resultan vektor merupakan jumlah dari dua atau lebih vektor.
Resultan vektor dapat diperoleh dengan beberapa metode, antaralain, metode segitiga, metode jajargenjang, poligon, dan analitis.
Rumus mencari resultan vektor dan arahnya dengan metode analisisadalah sebagai berikut.
   dan  
Perkalian vektor dengan vektor terdiri dari perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product).

















DAFTAR PUSTAKA

Joko Sumarsono. 2009. Fisika 1 Kelas X. Pusat Perbukuan Departemen       Pendidikan   Nasional: 2009.
physic, m. (2012, Mei 24,pukul 01.34). penerapan vektor dalam kehidupan sehari-hari. Retrieved februari 13, 2015, from momentum physic: http://simplemomentum.blogspot.com/2012/05/penerapan-vektor-dalam-kehidupan-sehari.html
R.Spiegel,Murray.1991.AnalisisVektor.Jakarta: Erlangga
WIKIPEDIA. (2013, April 5). Vektor Satuan. Retrieved februari  11 , 2015, from Wikipedia:   http://id.wikipedia.org/wiki/Vektor_satuan